摘 要：将气井不稳定流动阶段的产量、压力等生产数据处理为产量修正的拟压力差与拟时间，利用两者间的线性关系可以确定出裂缝长度、地层渗透率等参数，据此评价气井压裂效果、预测气井生产动态。为了准确计算拟时间值，通过引入动边界概念，将探测边界视为压力扰动的外边缘，利用积分方法求解渗流偏微分方程，得到由气井生产引起的探测边界传播规律，结合物质平衡方程获得探测范围内的平均地层压力，并借助迭代算法确定不同生产时刻对应的气体拟时间。结果表明：与拟时间相比，直接使用真实时间分析生产数据，定压生产时引起直线斜率偏小，且生产压差越大偏差程度越明显，定产生产时导致数据线性相关性变差，气井产量越高相关系数越低；在变产量生产时，利用物质平衡拟时间能够消除气体高压物性和变产量带来的非线性影响，明确生产数据间的线性关系，压裂参数的计算结果更为合理。
关键词：气井 线性流 探测边界 平均地层压力 拟时间 生产数据 裂缝长度
Analysis of the unsteady production data of a gas well based on pseudo-time function
Abstract：The per-well performance data like productivity，pressure，etc．at the unsteady stage of the well production are processed as rate-normalized pseudo pressure and pseudo time．In order to evaluate the fracturing effect and predict the per-well performance,we need to determine the fracture length and formation permeability，etc．through utilizing the slope of a square-root-time plot(a plot of rate-normalized pressure vs．square root of pseudo time)．But the actual value of pseudo time is hard to obtain．Therefore，based on the concept of moving boundary，the distance of investigation was regarded as the region obviously affected by pressure disturbance．An approximate solution to the propagation rule of investigation boundary was obtained by an integral method at a variable rate condition，which was used to calculate the average pressure within the investigation region．The pseudo time value was thus calculated with the help of the corresponding iterated algorithm．The results showed that the slope of a square root time plot is smaller than that of a square root pseudo time plot at constant pressure conditions，while the plot of square root time derivates from the expected straight line at constant rate conditions，where the degree of these deviations is determined respectively by flowing pressure drop and production rate．At variable rate conditions，a distinct linear relationship in the plot could be observed by incorporating the material balance pseudo time，which results in a reliable calculated result of fracture length．
Keywords：gas well，linear flow，distance of investigation，average formation pressure，pseudo time，production data，fracture length
对于页岩气、致密气等非常规气藏，水平井辅以分段压裂技术能够增大地层接触面积，减小渗流阻力，提高气井产能，同时也将引起持续数年的不稳定线性流动期[1-4]。将日常生产数据处理为产量修正的生产拟压差、拟时间，以反映出的流态特征为诊断工具，利用相应的数学表达式能够获取不同的参数，以此来评价压裂效果与预测气井产量[5-6]。
但是，气体拟时间计算中涉及的平均地层压力往往难以确定。Agrwal[7]和Mattar[8]分别利用压力迭代法和地质储量迭代法确定平均地层压力，但都只适用于拟稳态生产阶段；Anderson[9]为提出使用探测边界内平均地层压力的观点，随后Nobakht等[10-11]给出了利用物质平衡方程结合探测边界传播规律的求解思路，该方法虽然突破了拟稳态流动条件的限制，但难以应用到更具实际意义的变产量生产情况。
这样，如何计算变产量下的探测边界移动规律成为合理分析生产数据的关键。传统探测边界公式是基于不稳定渗流研究的结果，多是通过脉冲波的最大响应位置[12-13]或联立不稳定与拟稳态压力导数[14-15]确定。这些公式形式基本一致，均认为探测边界移动速度与气井工作制度无关，但Wattenbarger[16]计算表明，定压和定产下的探测边界公式并不相同。鉴于此，笔者借助低渗透储层中的“动边界” [17-19]概念，将探测边界视为压力扰动的外边缘，通过积分方法获得变产量下的探测边界通用表达式，利用Nobakht方法计算平均地层压力，并给出相应迭代算法计算气体拟时间函数，同时对比分析使用真实时间对线性关系产生的影响，进而利用拟时间分析气井不稳定生产数据，计算压裂参数。
1 探测边界内的平均地层压力
1．1 探测边界模型及近似解
致密介质渗透率极低，无自然产能，气体只有在压裂区域(SRV)内才能够发生有效流动。假设各条裂缝等长、等间距分布，SRV区域内的渗流可以等效为一系列的线性流模型[20-22]。
借助低渗透“动边界”概念研究探测边界问题：假定地层均质，含气饱和度100％，气体全部为CH4，忽略重力和毛细管力的影响，不考虑地层孔隙的可压缩性，压力只在探测边界内传播。利用无量纲量处理气体拟压力控制方程，其中变产量下无量纲定义为：
则拟压力为：
式中K为渗透率，mD；h为地层厚度，m；j为地层孔隙度；mg为气体黏度，mPa·s；Bg为气体体积系数；cg为气体压缩系数，Mpa-1；Zg为气体偏差因子；T为地层温度，K；y为空间坐标，m；yf为动边界空间位置，m；xf为裂缝半长，m；qsc为气井产量，m3／d；qref为参考产量，m3／d；Gp为累积产量，m3；p为地层压力，MPa；t为生产时间，h；下标sc为标准状态，psc=0.1MPa，Tsc=293.15K；下标i为地层原始状态；下标D为无量纲量。
地层中的无量纲拟压力控制方程满足：
其中0≤yD≤yfD(tD)
压力及探测边界初始条件为：
mD(yD，0)=0 (3)
其中0≤yD≤yfD
yfD(0)=0
压力及探测边界边界条件为：
由于探测边界yfD随时间而变化，直接求解(2)～(4)并非易事，这里采用近似求解方法。首先对控制方程(2)两侧先后关于空间变量(yD)和时间变量(tD)进行积分，利用边界条件将偏微分方程式(2)转化为探测边界内物质平衡方程：
考虑到初始条件式(3)及边界条件式(4)，令方程式(5)的近似解满足二阶精度近似，即
上式中a0(tD)和ag1(tD)为待定系数，通过边界条件可以得到探测边界内的压力分布公式，即
将压力近似解式(7)代入物质平衡方程式(5)，可以得到探测边界在地层中的移动规律：
式(8)与经典探测边界公式相比，系数更大、时间修正为物质平衡时间。利用式(8)可以得到任意生产制度下气井探测边界随时间的移动规律。
1．2 探测边界内平均地层压力
从气井流量来源的角度分析探测边界的物理意义。气井流量完全来自于地层孔隙内气体的弹性压缩，以探测边界作为空间划分点，气井流量由两部分地层组成：探测边界内+探测边界外。使用物质平衡方程的理想条件为外边界封闭，即探测边界内地层的流量供给占气井流量的100％，所以探测边界以内地层对气井产量的供给比例决定着在探测边界内使用物质平衡方程的准确性。
本文参考文献[16]给出了定流量探测边界表达式yfD=(2tD)1/2，定压为yDf=(6tD) 1/2，而利用式(8)得到的探测边界定流量表达式为：yDf=(6tD) 1/2。定压：yDf=(6tDmb) 1/2=(12tD) 1/2。利用经典解关于yD的导数可获得不同位置处的流量qD(yD，tD)，通过计算qD(yD，tD)／qD (0，tD)比值获得探测边界内地层对气井流量的供给比例。其中本文参考文献[16]定产条件下的计算结果为68.3％，定压为63.9％，近似解式(8)分别为91.68％、95.02％。使用近似解增加了压力扰动的波及范围，减小了探测边界外地层的流量供给比重，提高了在探测边界内使用物质平衡方程的精度。
利用式(8)并结合物质平衡方程式(9)可以得到不同时刻探测边界内的平均地层压力(pavg)，这是计算气体拟时间函数的基础。
其中，利用式(8)可获得不同生产制度下的探测边界内地质储量(G)为：
2 气体拟时间
气体具有强可压缩性，其黏度(mg)、偏差因子(Zg)、体积系数(Bg)等都是关于压力的强非线性函数，如果直接对气体渗流控制方程中的扩散系数进行强行近似必然会引起较大的误差。使用拟时间函数(tg)能够将气体渗流问题等效转化为液体渗流问题，同时改进了“强行近似扩散系数(1／jmgcg)为常数”的假设条件，结果必然使得理论描述更接近于矿场实际情况，也方便液体研究领域内成果的参考和借鉴。其中，拟时间定义为：
2．1 定压生产
在定压生产条件下，线性流动阶段的产量变化规律[16]满足1／qsc＝at0.5。其中：
利用式(9)结合式(10)得到探测边界内的物质平衡方程为：
式(13)表明探测边界内的平均地层压力为常数，拟时间与真实时间关系简化为：
用拟时间取代真实时间，产量和探测边界内的平均地层压力重新修正式为：
其中，拟时间修正因子用来表示真实时间与拟时间的差异，定义为：
根据式(16)结合Newton迭代算法可以获得不同生产压差下的平均地层压力。图1计算了不同井底压力(pw)下对应的拟时间修正因子(fcp)。结果表明，pw越小，fcp越大，(mi-mw)／qsc-t斜率较(mi-mw)／qsc-ta偏小程度越明显，直接使用真实时间分析生产数据的可靠性越差。
2．2 定产生产
定产生产时，同样利用式(9)式(10)可以获得探测边界内的物质平衡方程：
为方便研究，这里做如下假设cg≈1／p，Zg=1，mg=常数，结合利用式(18)，可以得到拟时间与真实时间的近似关系式为：
则产量修正下的拟压差(mi-mw)／qsc与真实时间t的线性关系应满足：
用图2计算得到不同产量下的t1/2与[m(pi)-m(pw)／qsc变化规律。结果表明：t1/2与[m(pi)-m(pw)]／qsc在生产早期呈线性关系，随着生产进行逐渐偏离直线关系(线性相关系数变小)，偏离程度受气井产量控制，产量越大偏离直线的起始时间越小，偏离程度越大(线性相关系数越小)，这将导致无法直接使用真实时间分析气井生产数据。
2．3 变产量生产
物质平衡时间(tmb)能够较好地处理产量变化引起的时间叠加影响，但Palacio和Blasingame[23]研究表明，tmb通常只在拟稳定阶段精确成立。将物质平衡时间(tmb)修正为1.23tmb，物质平衡时间在不稳定流动阶段也能够精确成立(表1)。
将式(20)中的拟时间(ta)替换为修正物质平衡拟时间1.23tmba，可得到变产量条件下的解析表达式为：
物质平衡拟时间表达式应满足：
其中，探测边界内的平均地层压力通过下式确定，即
式(21)与式(23)中均含有未知量xf，这里采用迭代方法计算xf：
1)绘制[m(pi)-m(pw)／qsc与真实物质平衡时间(tmb1/2)的曲线，利用式(21)的线性关系式中的斜率(b)计算xf，作为初值。
2)使用式(23)计算生产数据记录点处的平均地层压力，形成t-pavg的数据表。
3)利用t-pavg数据表并结合式(22)，借助数值积分计算物质平衡拟时间(tmba)，进一步形成t-tmba数据表。
4)绘制各个时间点t对应的[m(pi)-m(pw)1／qsc与物质平衡拟时间(tmba1/2)的线性关系式，确定斜率(b)，计算xf。
5)重复步骤(2)～(4)，直到xf收敛为止。
3 实例分析
以某压裂水平气井为例进行计算验证。其中地层渗透率为0.187mD，厚度为11.7m，孔隙度为12.4％，原始地层压力为28.95MPa，原始地层温度为313.15K，水平段长度为1045m，压裂10段，气井生产历史见图3。
按照上述迭代算法分析气井生产数据。图4计算了不同时刻探测边界移动规律以及探测边界内的平均地层压力，结果表明：随着生产的进行，探测边界不断向外传播，传播速度逐渐减慢，同时井底压力不断下降，探测边界内的平均地层压力随之下降。
图5对比了使用物质平衡时间和物质平衡拟时间的计算效果：①直接使用物质平衡时间，生产数据间的线性关系并不明显，直线的线性相关系数较低，斜率整体偏低，同时呈现出定压和定产情况的特征；②使用物质平衡拟时间，能够明确生产数据间的线性关系，此时拟合出的线性关系式是考虑了气体高压物性和产量变化共同作用的结果，更接近气体的实际流动情况。利用生产数据间的线性关系斜率(b)来计算压裂长度(xf)：
由于图5中物质平衡拟时间对应的直线斜率(btmba)大于物质平衡时间斜率(btmb)，故使用真实时间分析气井生产数据导致压裂参数计算结果偏高，物质平衡时间计算结果为xf=53.40m，物质平衡拟时间计算结果为41.73m，为进一步验证计算结果，基于线性流动模型重新计算井底压力，同时对比实测压力(图6)。图6表明，基于拟时间(xf=41.73m)解释参数的预测结果更为合理，而真实时间(xf=53.40m)解释结果则高估了气井的实际生产能力，导致相同生产时间内井底压力的下降幅度更大。
4 结论
1)完整给出了考虑气井产量变化和探测边界影响的气体渗流数学模型，用积分平均方法完成了近似求解，得到了探测边界传播规律的通用解析表达式，并通过对比经典结果验证近似解的准确性。
2)探测边界公式中时间修正为物质平衡时间，利用新公式计算的探测边界内地层储存气体对气井产量贡献率超过90％，高于Watterbarger结果，提高了在探测边界内使用物质平衡方程的精度。
3)同修正拟压差拟时间形成的线性关系式相比，定产条件下直接使用真实时间导致线性关系不成立，定压条件下则引起直线斜率减小，其偏差程度分别由气井产量及井底压力决定。
4)在实际气井生产中，气体物质平衡拟时间函数能够明确生产数据间的线性关系，提高压裂参数解释结果的可靠性，为准确评价水力压裂效果提供理论支持。
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本文作者：王军磊 贾爱林 甯波 蒋俊超
作者单位：中国石油勘探开发研究院
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