摘 要

摘　要：地层中矿物的种类及含量对地层矿物识别、岩性划分、确定地层黏土含量与类型、计算骨架参数以及研究沉积环境等方面，均有着非常重要的意义。地壳中化学元素的丰度与矿物

摘　要：地层中矿物的种类及含量对地层矿物识别、岩性划分、确定地层黏土含量与类型、计算骨架参数以及研究沉积环境等方面，均有着非常重要的意义。地壳中化学元素的丰度与矿物的形成及其化学成分有着密切的关系，通过确定元素含量和矿物含量之间的转换关系，可以把元素含量转换成矿物含量。根据不同的岩性选择，建立从元素含量向矿物含量转换的模型，通过相应的转换关系，借助最小二乘方法和广义逆矩阵求解线性方程组的方法，采用地层元素测井得到的元素含量，从而计算出地层中的矿物含量。通过对实际井资料的处理，将其计算结果与实验室结果和斯伦贝谢计算结果进行对比，其结果表明：①转换系数是病态矩阵时，最小二乘方法计算出的矿物含量不准确；②通过广义逆矩阵计算得到的矿物含量的精确度较高，计算结果与实验室结果误差较小，且优于斯伦贝谢计算结果，可以用于地层评价求取储层参数。

关键词：元素测井  元素含量  矿物含量  数学模型  转换关系  转换系数  方法对比  储集层参数

A method for determining mineral content by formation element logging

Abstract：It is very important that the species and content of strata minerals can be used for identifying minerals，differentiating lithology，determining the clay content and species，calculating effective matrix parameters，and researching sedimentary environment．In addition，the abundance of chemical elements has a close relationship with the formation of minerals and their chemical composition in the crust．The elemental concentration can be converted into mineral content by determining the relationship between elemental concentration and mineral content，the model of which was then chosen and established on the basis of different lithologies．Then we calculated the mineral content in the formation based on ECS(Element Capture Spectroscopy)logging with the least squares method and generalized the inverse matrix method of solving the linear system of equations．The processing of some practical data was used to illustrate the effect of this method，and results were compared with the laboratory measured results and results computed by Schlumberger．On one hand，the result of the least squares method is imprecise when conversion factor is the ill conditioned matrix．On the other hand，the accuracy of the mineral content calculated by generalized inverse computation is higher than the results computed by Schlumberger，and also compared with the laboratory measured results，the error is smaller．This shows that this method can be used for obtaining reservoir parameters in formation evaluation．

Keywords：elemental logging，elemental concentration，mineral content，generalized inverse，conversion relationship，conversion coefficient，method comparison，reservoir parameters

地层中矿物的种类及含量对正确地进行地层评价有着非常重要的意义，但目前的条件下，很难精确地确定地层中的矿物种类及含量。化学元素是形成矿物的物质基础，地壳中化学元素的丰度与矿物的形成及其化学成分有着密切的关系。

地层中已发现的元素虽然有l00多种，但研究证实，各元素在地壳中分布是极不均匀的，只相对集中于少数几种元素。其中O(46.13％)、Si(26.00％)、A1(7.45％)、Fe(4.20％)、Ca(3.25％)、Na(2.40％)、Mg(2.35％)、K(2.35％)、H(1.00％)等9种元素占地壳总质量的98.13％，其余元素仅占l.87％^[1]。同样，尽管地壳岩石中已发现的矿物有2200多种，但其中常见的矿物种类只有10余种。因此，只要精确测量到这些主要元素的含量，就呵以鉴别地壳岩石中矿物的类型及含量^[2]。斯伦贝谢公司的ECS测井仪、哈里伯顿公司的GEM测井仪、贝克休斯的FLS测井仪，都可以精确测量地层中的主要元素的含量。当矿物的化学成分比较稳定时，矿物中各元素的百分含量基本保持不变，这是利用元素转换成矿物的前提条件，也是选定矿物指示元素的前提条件。所以要把元素含量转换成矿物含量，关键是确定合适的转换关系，进而运用一定的数学算法求解矿物含量^[3]。笔者主要是在Herron所提出的转换关系Ⅲ的基础上，进行改进与应用，改进后的方法有更好的适用性和简洁性，计算结果也具有较高的精度。

1　元素与矿物的转换关系

Herron等人通过对大量岩心的中子活化分析和X射线衍射分析后，提出元素含量与矿物含量之间的定量关系。通过多元回归分析确定元素含量与矿物含量之间的相关关系，可用矩阵的形式表示为^[1,4]：

[E]=[C][M] 　　　　　   (1)

式中[E]为元素重量百分含量构成的矩阵；[M]为矿物重量百分含量构成的矩阵；[C]为转换系数，是方阵，系数Cij表示第j种矿物中第i种元素的含量。

通过求逆矩阵，就可以得到用元素百分含量表示的矿物重量百分含量，即

[M]=[C]^-1 [E]            (2)

式中[M]为矿物重量百分含量构成的矩阵；[C]^-1为转换系数矩阵的逆矩阵；[E]为元素重量百分含量构成的矩阵。

表l是Herron等人给出的一个9种矿物的转换系数，其中的XS Fe表示剩余铁，w(H2O)min表示矿物中的水含量。

 

各地区地层所含矿物种类不尽相同，所用到的转换系数也会略有差异，这种关系可以通过对本地区大量岩心分析数据的统计结果得到。如果还没有建立起以本地区数据为基础的转换关系，最初可以采用通用的转换关系或条件类似地区的转换关系，然后逐渐由本地区分析数据结果加以修正^[5]。实际情况比较复杂，往往会遇到已知元素个数与所求矿物个数不相等的情况，这种情况下转换系数矩阵不再是方阵，即超定或欠定方程，此时无法用普通逆矩阵的方法直接计算。即使在元素个数等于矿物个数的情况下，由于各地区矿物的化学性质的差异，所建立的转换系数矩阵也不一定可逆。基于系数矩阵的复杂多变性，笔者引入Moore-Penrose广义逆矩阵的方法来求解矩阵方程。

2　广义逆矩阵求解矿物含量

非齐次线性方程组：Ax＝b(其中A∈C^m×n，b∈C^m给定,x∈Cⁿ待定)的解主要有3种情况：①线性方程组相容，有唯一解；②线性方程组相容，有无穷多个解；③线性方程组不相容，不存在通常意义下的解，有最小二乘解，一般说来，矛盾方程组的最小二乘解不是唯一的。

实际问题中需要得到满足实际要求的最佳解，②、③情况下的解显然不能解决实际问题。所以应进一步在②的情况下求出线性方程组的极小范数解，在③的情况下求出极小范数最小二乘解。且这两个解是唯一的。

由于广义逆矩阵A⁺既是减号逆又是极小范数广义逆、最小二乘广义逆，故对于方程组Ax＝b，不论其是否有解，均可用A⁺来讨论(y是任意n维向量)：

1)当Ax＝b相容时，x＝A+b+(I-A⁺A)y是通解；x＝A⁺b是极小范数解。

2)当Ax＝b不相容时，x＝A+b是极小范数最小二乘解；而x＝A+b+(I-A+A)y是最小二乘解的通解。

所以，无论线性方程组Ax＝b相容与否，都可以用x＝A+b求解线性方程组的极小范数解或极小范数最小二乘解。

A在不同的条件下，A⁺有很多种算法，但A⁺是唯一确定的。笔者使用奇异值分解的方法计算A⁺，该方法适合任何条件下的A，而无须对A进行分情况讨论。

设A∈C^m×n的奇异值分解为A＝UårV^T，其中U∈C^m×m，V∈C^n×n都是酉矩阵，U^TU＝Im，V^TV＝In，

 

其中si>0(i＝l，2，r)。

则A⁺＝V∑r⁺U^T         (3)

式中A⁺为矩阵A的广义逆矩阵；V是矩阵A奇异值分解得到的酉矩阵，V∈C^n×n，

 

U^T是矩阵A奇异值分解得到的酉矩阵的转置，U^T∈C^m×m。

所以，线性方程组Ax＝b的极小范数解或极小范数最小二乘解可以表示为：

X＝V∑r⁺U^Tb           (4)

式中V是矩阵A奇异值分解得到的酉矩阵，V∈C^m×n，

 

U^T是矩阵A奇异值分解得到的西矩阵U的转置，U^T∈C^m×m；b∈C^m给定。

3　实际应用

以Z井为例，由于还没有建立起本地区的元素与矿物之间的转换关系，所以首先借助于Herron提出的通用的转换系数，然后根据本地区的数据资料进行修正。

该井ECS资料只有Al、Si、Fe、Ca、S、Ti、Gd(微量元素)7种元素，可用于上述转换系数的只有前6种元素，K元素含量可以通过自然伽马能谱测井获得。由于缺少XS Fe和w(H2O)min数据，且全岩分析资料显示该井段基本不含金红石和菱铁矿，所以将转换系数初步修正为7种矿物对应7种元素的转换系数(表2)。经检验，修正后的[C]矩阵仍然是方阵，且可逆。表3为通过公式[E]＝[C][M]，利用最小二乘法计算得到的部分结果。

 

 

从表3中可以看出该结果中多种矿物含量为负值，且有的矿物含量为大于l00％的值，这样的结果显然是不合理的。经分析检验，修正后的转换系数矩阵条件数较大，为病态方程组，所以用一般的数值解法会有较大的误差，甚至严重失真。所以需要根据本地区岩心的资料对转换系数做更进一步的校正。

根据Z井的岩石样品扫描电镜分析资料和全岩分析数据，确定该井段的主要矿物有黏土、石英、钾长石、斜长石、方解石、黄铁矿及少量白云石。由于白云石的指示元素是Ca和Mg，而ECS测井资料没有元素M9的数据，加之白云石含量较少且分布不均，所以此次转换过程中忽略白云石。实际应用中可以利用岩性密度测井仪器，通过测量岩石的光电吸收截面指数(Pe)，可以导出Mg元素的重量百分含量^[6]。据此建立9种矿物模型，表4为9种矿物转换系数表，该转换系数的元素种类少于矿物种类，对应的系数矩阵[C]不可逆，线性方程组[E]＝[C][M]为不定方程，此时有无穷多组解。因此通过广义逆矩阵A+可求出该方程组的极小范数最小二乘解。

 

图1为利用广义逆矩阵计算得到的矿物含量与实验室全岩分析结果和斯伦贝谢测量结果的对比图。图中红色曲线是利用广义逆矩阵计算得到的矿物含量，黑色柱线是实验室全岩分析得到的矿物含量，第6道的碳酸盐的含量是方解石和白云石含量的和，由于作者转换过程中没有计算白云石，所以计算的碳酸盐只含有方解石，第7道的砂质的含量是石英和长石含量的和，第8道的黏土是高岭石、伊利石、蒙脱石含量的和。总的来说，该方法计算得到的矿物含量与实验室全岩分析结果吻合得很好，很好地反映了矿物含量的变化趋势，尤其是含量比较大的矿物，如黏土、砂质和石英，与全岩分析结果对应非常好；长石和黄铁矿虽然有一定的差异，但误差在行业标准之内；方解石出现差异是由于模型中假定为CaCO3，而岩石中出现CaO所引起的，为了消除这一影响，需要对Ca的氧化物指数做一个修正。

 

图1中蓝色曲线是斯伦贝谢利用Spectrolith模型计算得到的矿物含量，该模型通过Si、Ca、Fe 3种元素取代Al元素来做精确的黏七估算，而不再需要测量Al的含量。即

WClay＝1.91(1-2.139Wsi-2.497WCa-1.99WFe)        (5)

式中WClay 为地层中黏土的重量百分含量，Wsi、Wca、WFe分别为ECS测井得到的Si、Ca、Fe的百分含量。

碳组分碳酸盐则由钙组分的测量中精准地获得，石膏盐则由Ca和S的测量来确定，地层中的剩余组分则为QFM(石英+长石+云母)^[7-8]。从图1中可以看出，笔者计算得到的砂质与斯伦贝谢计算的砂质吻合的非常好，变化趋势基本一致；黏土和碳酸盐吻合较好，整体变化趋势一致；而黄铁矿吻合效果较差，但笔者计算的结果与全岩分析的吻合效果优于斯伦贝谢与全岩分析的吻合结果。

表5是对几种主要矿物含量计算结果的误差分析。从表5中可以看出，对于含量大于20％的黏土和砂质，笔者计算的矿物含量的平均相对误差分别为9.6％和9.4％，均小于10％。虽然碳酸盐和黄铁矿的平均相对误差较大，但由于这两种矿物含量较少，这样的结果也是可以接受的。与斯伦贝谢Spectrolith模型计算的结果相比，笔者计算的4种矿物的平均相对误差均小于斯伦贝谢计算结果。

 

4　结论

1)通过建立元素与矿物之间的转换关系，将地层元素测井测量得到的元素含量转换为矿物含量，为解决地质问题提供了更加可靠有效的手段。地层元素测井在地层矿物识别、岩性划分、确定地层黏土含量与类型、计算骨架参数以及研究沉积环境等方面^[9-10]，有着广泛的应用前景。

2)本次算法的研究，主要是基于Herron提出的理论方法上的改进及应用。通过对实际井的处理，得到了理想的结果，说明该方法是可行的。如果能够建立起本地区的转换关系，该方法计算得到的结果将更加精确。

3)该算法主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵求解矩阵方程，该方法的优点是对系数矩阵要求低，适用面广泛，笔者仅对元素个数少于矿物个数的情况做了尝试，但该方法同样适用于元素个数与矿物个数相等或元素个数多于矿物个数的情况。

4)采用奇异值分解法求解广义逆矩阵，更增加了该方法的适用性和简洁性。

 

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本文作者：孙建孟  姜东  尹璐

作者单位：中国石油大学(华东)地球科学与技术学院