摘要：采用可压缩流体的高阶有限容积法(FVM)及其系列改进算法对燃气管道进行了稳态分析，探讨了数学模型的建立和数学模型的求解。通过实例对比可知，FVM方法具有较快的运算速度和较好的收敛性，计算结果较准确。

关键词：燃气管道；稳态分析；水力计算；有限容积法

LIU Xiaojing，ZHOU Weiguo，WANG Hai

Abstract：The steady-state analysis of gas pipeline is conducted using compressible fluid high-order finite volume method(FVM)and its improved algorithms.The establishment and solution of mathe-matical model are discussed.The ease comparison shows that FVM has rapider operation speed，better convergence and exact calculation result.

Key words：gas pipeline；steady-state analysis；hydraulic calculation；finite volume method(FVM)

   天然气管网稳态分析是天然气管网设计和改造的依据，是进行管网动态模拟和分析的基础，也是加强天然气管网系统优化运行以及确定最优改扩建方案的基础。管道模拟准确与否关键在于所建立的数学模型能否准确、全面地描述管内流动过程以及能否找到快速求解模型且收敛性好的方法。

   在HARDY等人提出迭代法解非线性方程后，目前常用的稳态分析方法有牛顿-拉夫逊(Newton-Raphson)法、线性逼近法、流体网络理论。管延文、段常贵等都曾用牛顿-拉夫逊法进行过计算^[1～2]。牛顿-拉夫逊法是求解天然气管网稳态分析节点法数学模型的常用算法，但它有两个主要缺点：①每次迭代都要计算雅可比矩阵及其逆矩阵，计算量大；②对迭代初始值要求比较高，如不能提供较好的初始值，则收敛较慢，甚至计算过程发散^[3]。国内的姜东琪等^[4]和国外的KE^[5]也采用线性逼近法对燃气管网进行过水力计算。KE和TA0等人利用流体网络理论对管网进行了稳态模拟^[6～7]。西南石油大学对燃气管网的稳态计算方法进行了研究，分别应用节点法和环路法进行求解，但在计算中忽略了压缩因子对气体流动的影响^[8]。进行管网水力计算时，必须考虑管道中燃气的可压缩性。

    本文采用SIMPLE改进算法，用有限容积法(FVM)导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数的物理意义明确。这克服了采用有限差分法求解管网流动偏微分方程的多种困难；也可以克服管网计算中各管段管径不同，以及在连接处流量突变的困难。对不同的管段进行长度不同的离散容积划分，不会影响计算结果的连续性和迭代的收敛稳定性。而传统方法离散时，为了保证计算结果收敛，必须对长管段进行很细密的网格划分，导致计算时间很长且无法保证数值解的守恒性。根据有限容积法离散方程的特点，可以采用高效的TDMA算法，存储量很小^[9]。

   ① 管道数学模型

   管道内气体流动数学模型由动量方程、连续性方程、状态方程组成^[10]，见式(1)。因为管道内温度变化很小，所以不考虑能量方程。

 

式中ρ——燃气密度，kg/m³

    u——燃气速度，m/s

    x——管道轴向坐标，m

    p——燃气压力，Pa

    g——重力加速度，m/s²

    ρ_a——空气密度，kg/m³

    α——管道与水平面夹角，rad

    λ——管道摩擦阻力系数

    d——管道内径，m

    z——压缩因子

    R——气体常数，J/(kg·K)

    T——燃气温度，K

   ② 模型的简化

   a. 在动量方程中，对流项只在燃气流速极大(接近声速)时才有意义，而通常管道中燃气流速不大于40m/s。此外，在高压管网瞬态变化中，对流项相对于其他项数值较小，可以忽略^[11]。b.在城市燃气管网中，管道的标高差值不太大，因此，动量方程中的重力项g(ρ-ρ_a)sinα一般忽略不计。

    通过简化，可以得到仿真数学模型，见式(2)。

 

式中C——常量

   ③ 摩擦阻力系数

   管道摩擦阻力系数除与燃气性质、管道材质等因素有关外，还与燃气的流动状态有关。不分低压和高中压管道，统一按流动状态和管道材质来分类选取计算公式，进行燃气管道摩擦阻力系数的计算^[12]。

   ① 数学模型的求解

   在计算气体稳定流动时，利用有限容积法一维交错网格将压力-速度耦合方程中不同的变量离散式存储在不同的网格系统，将式(2)中的动量方程进行离散，见式(3)。i节点是速度控制容积的中心节点，I节点是压力控制容积的中心节点。

 

式中a_i——i节点的离散方程系数，kg/s

    u_i——i节点的速度，m/s

    n——i节点周围的节点数

    a_j——i节点周围各节点的离散方程系数，kg/s

    u_j——i节点周围各节点的速度，m/s

    p_I-1——I-1节点的压力，Pa

    p_I——I节点的压力，Pa

    A_i——速度控制容积的界面面积，m²

    b_i——方程源项，(kg·m)/s²

   在初始压力下：

 

式中u_i^*——初始压力下i节点的速度，m/s

    u_j^*——初始压力下，i节点周围各节点的速度，m/s

    p_I-1^*——I-1节点的初始压力，Pa

    p_I^*——I节点的初始压力，Pa

    设修正的压力方程为：

    p=p^*+p′    (5)

式中p′——压力修正值，Pa

    设修正的速度方程为：

    u=u^*++u′    (6)

式中u′——速度修正值，m/s

    由式(4)～(6)得：

 

式中u_i′——i节点速度修正值，m/s

    u_j′——i节点周围各节点速度修正值，m/s

    p_I-1′——I-1节点的压力修正值，Pa

    p_I′——I节点的压力修正值，Pa

由于式(7)第一项是周围节点速度引起的修正值，值很小；而第二项是同一方向相邻节点压力差引起的修正值，影响较大。故为简化计算，略去第一项，并由式(6)、(7)得到速度的改进值：

 

   将速度改进值代入方程组(2)的连续性方程中，并将压力修正值p′的系数归一化处理，得到压力修正方程：

    a_Ip_I′=a_I+1p_I+1′+a_I-1p_I-1′+b_I′    (9)

式中a_I——I节点离散方程系数，kg/m

    a_I+1——I+1节点离散方程系数，kg/m

    p_I+1′——I+1节点的压力修正值，Pa

    a_I-1——I-1节点离散方程系数，kg/m

    b_I′——由于速度场的不正确引起的不平衡量，kg/s

   经过多次迭代修正，最终b_I′是否趋于0可以作为判断迭代过程是否满足要求的判据。

   在计算时，管道内气体压力和流速的分布采用双精度Simple方法的PIS0模型进行求解。即通过压力预测一修正方法，包括1个预测步骤和2个校正步骤，不断地修正计算结果，反复迭代，最后求出压力和速度的收敛解。

   ② 程序编制

   采用VB编写计算程序，对网格参数、压力参数内循环迭代的计算均采用稳定且快速收敛的TDMA方法。

   为验证燃气管网仿真软件是否准确，英国气体公司伦敦研究站(LRS)采用了一组不同管径、流量下符合实际的燃气的稳态数据进行验证。在相同的管径、流量条件下，本文采用FVM方法进行稳态仿真，并将仿真结果与新加坡国立大学采用电网络传输线理论的模拟结果进行对比。

   p₁，p₂，p₃，p₄，p₅分别表示管道被平均分为4段后，5个节点处的压力值。FVM方法的仿真结果与LRS的数据对比见表1，新加坡国立大学的电网络传输线理论模拟结果与LRS的数据对比见表2。

    由表1可知，运用FVM方法的仿真结果与LRS的数据非常接近，平均相对误差小于1.000%。表1与表2对比可知，FVM方法的仿真结果更准确。采用FVM方法具有较快的运算速度和较好的收敛性，为管网的动态分析提供了基础，可以满足工程的需要，对于管网的设计和安全控制都有重要的参考作用。

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(本文作者：刘晓婧 周伟国 王海 同济大学机械工程学院 上海 201804)